모든 소수는 4k+1 꼴 또는 4k+3 꼴로 표현된다

그런데 모든 4k+1꼴 소수 p에 한해서,
0< a < 4k+1 인 자연수 a에 대해

a²≡p-1 (mod p) 를 만족시키는 a가 반드시 존재한다.


예를 들어 13 = 4*3+1 인 소수임

그리고 5²≡12 (mod13) 이죠? 왜냐? 25=13+12


또하나,  29 = 4*7+1 인 소수죠?

12² ≡ 28 (mod29) 임 왜냐? 144 = 29*4+28

소수인 p보다 작은 자연수를 h라고 할 때
h=p-j(j는 1보다 큰 자연수)가 된다.)

(p-j)^2=(4k+1)(k-1)

4k+1=p

k=4/p-1

(p-j)^2=p(4/p-1)
p^2-2pj+j^2=4/p^2-p

p^2-2pj+j^2=4/p^2-4/p

(1-4/1)p^2+(-2j+4/1)p+j^2=0

4/3/-(-2j+4/1)±루트(-2j+4/1)^2-4(4/3)j^2

4/3/2j^2-4/1
±루트(4j^2-j+16/1-3j)


p=4/3/2j^2-4/1
±루트(j^2+j+16/1)

3/4(2j^2-4/1
±루트(j^2+j+16/1))

p=8j^2-1±루트(j^2+j+16/1)×4

±루트(j^2+j+16/1)×4=p-(8j^2-1)

±루트(j^2+j+16/1)×4=p-8j^2+1

16×(j^2+j+16/1)^2=(p-8j^2+1)^2

16×
(j^2+j+16/1)(j^2+j+16/1)
=j^4+j^3+16/1j^2+j^3+j^2+16/1j+16/1j^2+16/1j+1=16×(j^4+2j^3+8/9j^2+8/1j)

16j^4+32j^3+18j^2+2j

16j^4+32j^3+18j^2+2j=(p-8j^2+1)^2

(p-8j^2+1)(p-8j^2+1)=p^2-8pj^2+p-8pj^2+64j^2-8j^2+p-8j^2+1=(48-16p)j^2+p^2+2p+1

(48-16p)j^2+p^2+2p+1=16j^4+32j^3+18j^2+2j

16j^4+32j^3+(-30+16p)j^2+2j-p^2-2p-1=0, j>1

그런데 p도 1보다 크므로

16j^4+32j^3+(-30+16j)j^2+2j-j^2-2j-1=0

16x^4+48x^3-29x^2-1=0이고

최소 256보다 큰 수+ 최소 384보다 큰 수 - 최소 696보다 큰 수 -1=0

최소 640보다 큰 수 - 최소 696보다 큰 수 -1=0  

최소 56보다 큰 수-1=0

최소 55보다 큰 수=0이 되므로 해당 증명은 거짓이다.

따라서 a²≡p-1 (mod p) 를 만족시키는 a가 반드시 존재하지 않는다.